Могут ли меня уволить с работы по статье или сократить?

Здравствуйте.

Работодателя закон не ограничивает от увольнения или сокращения вас только потому, что вы получаете пособие по уходу за ребёнком до 1,5 лет и являетесь единственным кормильцем семьи.
Специальных «запретов на увольнение отца‑получателя пособия» в ТК нет.

1. Ваш статус и пособие
Чтобы получать пособие по уходу до 1,5 лет как отец, вы:

оформляли отпуск по уходу за ребёнком хотя бы на один день;
затем могли прервать отпуск и выйти на работу с сохранением права на пособие.
По правилам СФР: право на ежемесячное пособие сохраняется, даже если вы вышли из отпуска и работаете полный день или у другого работодателя.

Но:

если вы будете уволены, работодатель обязан в течение 3 дней сообщить об этом в СФР, и выплату по месту работы прекращают.
дальше вы сможете переоформить пособие через СФР как уволенный, если соответствуете условиям.
2. Можно ли вас уволить / сократить
Получение пособия не даёт таких гарантий, как, например, беременной женщине. Вас можно уволить:

по общим основаниям ТК РФ:

сокращение штата/численности;
грубое нарушение трудовой дисциплины;
неоднократное неисполнение обязанностей;
по собственному желанию и др.
быть единственным кормильцем и отцом ребёнка до 1,5 лет – это социально важный фактор, но не юридический «иммунитет от увольнения».
Нельзя:

уволить вас только за то, что вы оформляли отпуск по уходу и получаете пособие;
дискриминировать по семейному положению (формально). Но это уже вопрос доказывания, если будете оспаривать увольнение.
По сокращению:

на вас распространяется обычная процедура: предупреждение за 2 месяца, выплаты, преимущественное право остаться (зависит от квалификации, иждивенцев и т.д.). Специальной защиты, как у одиноких матерей/беременных, нет.
3. Что важно учитывать вам
Если увольнение всё‑таки произойдёт (по собственному или по сокращению):

пособие по уходу до 1,5 лет можно сохранить, оформив его напрямую через СФР/Госуслуги как уволенному работнику (при соблюдении условий).
Статус «единственный кормилец» может сыграть роль при споре о законности сокращения (выбор кандидатов на сокращение), но не даёт абсолютной гарантии.