Здравствуйте!
Если директор не подписывает заявление, это не блокирует ваше увольнение. По закону ключевое значение имеет не подпись работодателя, а факт того, что вы уведомили его за 2 недели.
Вы можете подать заявление так, чтобы зафиксировать этот факт. Самый надёжный способ — направить его почтой заказным письмом с уведомлением о вручении и описью вложения. Датой начала двухнедельного срока будет день, когда работодатель получил письмо. Даже если директор ничего не подписывает, срок всё равно начинает идти.
Если есть возможность, можно также передать заявление через канцелярию или секретаря, попросив поставить отметку о принятии на вашем экземпляре. Отказ принять заявление — это уже нарушение со стороны работодателя.
Что касается «уйти на больничный, чтобы не отрабатывать», сам по себе больничный не отменяет срок уведомления. Но если вы действительно заболели и открыли лист нетрудоспособности, этот период входит в те самые 2 недели. То есть вы фактически не работаете, но срок идёт, и по его окончании вас обязаны уволить.
Важно понимать, что оформлять больничный без реального заболевания — рискованно, это может повлечь проблемы. А вот если больничный законный, работодатель не вправе заставить вас «отрабатывать» после его закрытия, если 2 недели уже прошли.
В день увольнения вам обязаны выдать трудовую книжку (или сведения о трудовой деятельности) и произвести расчёт. Если будут уклоняться — можно жаловаться в трудовую инспекцию или обращаться в суд.
С наилучшими пожеланиями, Юрий Михайлович!