Здравствуйте! В вашей ситуации просить врача закрыть больничный «вопреки состоянию» — плохое решение. Врач обязан исходить из медицинских показаний, а не из требований работодателя. Если вы реально не восстановились, больничный должны продлить — это законно и правильно с точки зрения здоровья.
То, что работодатель «не приемлет» больничные дольше 10 дней, не имеет юридического значения. Уволить или наказать за длительный больничный он не вправе, если он оформлен надлежащим образом. Любое давление в этом плане — нарушение.
Вы можете спокойно находясь на больничном подать заявление об увольнении по собственному желанию. Это допустимо, и срок предупреждения (обычно 14 дней) будет идти в том числе во время больничного. При этом выходить на работу не требуется.
Поэтому разумный вариант: продолжать лечение, не ухудшать состояние выходами на работу, и если решили увольняться — подать заявление, не дожидаясь закрытия больничного.
С наилучшими пожеланиями, Юрий Михайлович!