Могу ли я нанять организацию которая этим занимается и как это делается?

Здравствуйте, Михаил!
Что говорит закон?
По ст. 30 Лесного кодекса РФ граждане заготавливают древесину для собственных нужд лично, на основании договора купли-продажи лесных насаждений (или аналогичного документа — в вашем случае лесорубочного билета). При этом: Заготовленная древесина не может отчуждаться или передаваться другим лицам — продать дрова или переписать билет на организацию нельзя. Стороной договора обязательно должен быть гражданин, а не организация.
 
Можно ли нанять подрядчика?

Здесь есть правовая неопределённость, и это нужно учитывать.

Закон прямо не запрещает нанять организацию для выполнения физических работ (рубка, раскряжёвка, вывоз) — при условии, что право на заготовку и собственность на дрова остаются у вас. Это похоже на найм рабочих для работы на своём огороде.

Однако закон и прямо не разрешает это в явном виде. Часть лесничеств трактует норму о «личном осуществлении» строго — и может расценить работу организации на вашей делянке как нарушение.

Как действовать безопасно?

Первый шаг — обратитесь в лесничество или лесхоз, выдавший билет. Объясните ситуацию и спросите прямо: допускают ли они привлечение подрядчика. Ответ лучше получить письменно.
Если лесничество не возражает — заключите с организацией договор подряда (ст. 702 ГК РФ): вы заказчик, они исполнитель физических работ, дрова остаются вашими.
Оформите доверенность на представителя организации — для предъявления вашего билета при проверках на делянке.
Обратите внимание на региональные правила — порядок заготовки для собственных нужд устанавливается законами субъектов РФ, и в вашем регионе могут быть свои условия.
Вывод: передать билет организации нельзя. Нанять подрядчика теоретически возможно, но это серая зона — безопаснее всего сначала согласовать с лесничеством. Один разговор там сэкономит вам много проблем.