Здравствуйте, Дарья!
Согласно статье 4 части 81 Трудового кодекса Российской Федерации, в случае прекращения деятельности филиала, расположенного в другой местности, расторжение трудовых договоров с работниками этого подразделения производится по правилам, предусмотренным для случаев ликвидации организации.
Важно отметить, что на период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность), согласно части 4 статьи 256 Трудового кодекса РФ. Это означает, что работодатель обязан предоставить вам работу.
Если филиал в Ростове-на-Дону закрылся, а головной офис находится в Саратове (другая местность), работодатель обязан предложить вам перевод в головной офис. Перевод на работу в другую местность вместе с работодателем допускается только с письменного согласия работника (часть 1 статьи 72.1 ТК РФ).
Если вы не согласны на перевод в другую местность, а филиал ликвидируется, то трудовой договор с вами может быть расторгнут по правилам ликвидации организации. В этом случае вам полагается выходное пособие в размере среднего месячного заработка, а также сохранение среднего заработка на период трудоустройства в течение двух, а в некоторых случаях и трех месяцев после увольнения (статья 178 ТК РФ).
Что касается выплат, то пособие по уходу за ребенком до 1,5 лет выплачивается Социальным фондом России, а не работодателем. Ваше трудоустройство в Саратове (даже если это будет формальный перевод) не прекращает выплаты пособия, так как оно связано с фактом ухода за ребенком, а не с работой у конкретного работодателя.