Квартира не в собственности, на руках имеется только договор на его имя, но долг по квартплате приставы пытаются взыскать с него

Маргарита!

Вопросы собственности на имущство могут быть решены в судебном порядке, в том числе и на основании приобретательной давности — по правилам Гражданского Кодекса РФ те, кто владеют квартирой открыто, добросовестно и непрерывно свыше 15 лет могут обратиться в суд для признания права собственности на неё.

Если Вам необходима дополнительная консультация либо помощь в составлении письменных документов, можете обратиться в мой чат, по правилам сайта услуги в чате платные.
Всего доброго!

Если при жизни свекр не успеет зарегистрировать своё право собственности на квартиру, то нотариус откажет наследнику в выдаче свидетельства о праве на наследство в части этого имущества. Это связано с тем, что незарегистрированная недвижимость не может быть включена нотариусом в наследственную массу.
Для признания права на наследование спорного имущества наследнику придётся обратиться в суд с соответствующим исковым заявлением. Только суд полномочен рассматривать вопросы признания права собственности наследника при отсутствии бесспорных документов, подтверждающих право собственности наследодателя на наследуемое недвижимое имущество.
Порядок приобретения наследства в таком случае будет следующим:
Обращение наследника к нотариусу с заявлением о вступлении в наследство в течение шести месяцев с момента смерти наследодателя.
Получение отказа нотариуса в выдаче свидетельства о праве на наследство.
Обращение в суд с исковым заявлением о вступлении в наследство и признании права собственности на квартиру.
На период рассмотрения дела совершение нотариального действия приостанавливается. 
(Если Вам понравился мой ответ то ставьте + пожалуйста)