В отместку он установил контроль посещения моих подчиненных работников и выявил несоответствие заполненных табелей рабочего времени с фактическим пересечением проходной на предприятии

Здравствуйте.

Контроль за соблюдением трудовой дисциплины и использованием рабочего времени является правом работодателя (ст. 22 ТК РФ).

Однако, такой контроль должен осуществляться без нарушения прав и законных интересов работников.
Иван, согласна с вами, это вызывает сомнения мотивация генерального директора. Если контроль был инициирован именно после вашего возражения и запроса документов по премии, это может свидетельствовать о предвзятом отношении и злоупотреблении властью.
 Если вы считаете, что действия генерального директора носят дискриминационный характер (т.е. направлены на ухудшение вашего положения по сравнению с другими работниками из-за вашего возражения), вы имеете право обратиться в трудовую инспекцию или в суд 

ТК РФ Статья 3. Запрещение дискриминации в сфере труда
 

Никто не может быть ограничен в трудовых правах и свободах или получать какие-либо преимущества в зависимости от пола, расы, цвета кожи, национальности, языка, происхождения, имущественного, семейного, социального и должностного положения, возраста, места жительства, отношения к религии, убеждений, принадлежности или непринадлежности к общественным объединениям или каким-либо социальным группам, а также от других обстоятельств, не связанных с деловыми качествами работника.

Добрый день.

ТК РФ Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя
Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:

а) прогула, то есть отсутствия на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены), независимо от его (ее) продолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены);

Что касается прогулов.

Законодательство предусматривает  это как основания для расторжения трудового договора.

Это не ваш случай, если речь идет об опоздании в обычном их понимании.

ТК РФ Статья 192. Дисциплинарные взыскания \ КонсультантПлюс

В качестве наказания, трудовой кодекс предусматривает замечание, выговор, увольнение.

Часто то или иное решение принимается  на усмотрение руководителя

Нельзя сказать, какой из них он примет.

Но если будет принято необоснованное  решение о применении дисциплинарного взыскания, можно обратиться в суд.

Более подробно.

ТК РФ Статья 392. Сроки обращения в суд за разрешением индивидуального трудового спора \ КонсультантПлюс

Здравствуйте!

Работодатель по ТК обязан учитывать именно фактически отработанное время по табелю. Если в табеле стоит, что люди работали, а по проходной видно, что их не было, это нарушение учета рабочего времени со стороны работодателя и нарушение трудовой дисциплины работниками. Работников могут наказать дисциплинарно, то есть замечание, выговор, а при отсутствии более 4 часов подряд без уважительной причины – уволить за прогул по подп. «а» п. 6 ч. 1 ст. 81 ТК РФ, но только с соблюдением процедуры ст. 193 ТК РФ. С них могут взыскать переплаченную зарплату за время, когда они не работали и уважительных причин не имели. К Вам как руководителю и лицу, подписывающему табели, могут применить замечание, выговор, а при повторных нарушениях – увольнение за неоднократное неисполнение обязанностей по п. 5 ч. 1 ст. 81 ТК РФ.

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:

неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание;

Кроме того, инспекция труда может привлечь Вас как должностное лицо и организацию к административному штрафу по ст. 5.27 КоАП РФ за неправильный учет рабочего времени.

Здравствуйте Иван.

… по вопросу снижения премии,

Снижение размера премии по закону не является видом дисциплинарного взыскания, т.е. дисциплинарное взыскание может влиять на это если был установлен дисциплинарный проступок работника. его вина, всё оформлено в соответствующем порядке, применён вид дисциплинарного взыскания к работнику, только при наличии таких оснований.

ТК РФ Статья 135. Установление заработной платы.

Из статьи следует:

При установлении систем премирования коллективными договорами, соглашениями, локальными нормативными актами в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, определяются виды премий и их размеры, сроки, основания и условия выплаты премий работникам, в том числе с учетом качества, эффективности и продолжительности работы, наличия или отсутствия у работника дисциплинарного взыскания и других показателей. -https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/ec0a7a4cf2bbf1f8f89970fd480c3fc9ed860f82

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.