Может ли отель списать деньги с карты за сутки проживания, при отмене брони по причине болезни(есть справка из больницы).?

Они предложили перенести даты на неделю вперед, но стоимость увеличилась.Законно ли это?

 Это не законно.

С Вас, например, могут удержать при отказе стоимость первых суток бронирования.

Отказаться от услуг Вы вправе на основании ст. 32 Закона РФ «О защите прав потребителей», согласно которой допустим безосновательный отказ от договора до момента его исполнения.

Потребитель вправе отказаться от исполнения договора о выполнении работ (оказании услуг) в любое время при условии оплаты исполнителю фактически понесенных им расходов, связанных с исполнением обязательств по данному договору.

При этом следует учитывать требования постановления Правительства РФ от 18.11.2020 N 1853
«Об утверждении Правил предоставления гостиничных услуг в Российской Федерации»

которым определены категории гарантированного и негарантированного бронирования.

Поскольку при гарантированном бронировании отель вправе произвести с возвращаемой суммы стоимость бронирования за 1 сутки.

 В случае несвоевременного отказа от бронирования, опоздания или незаезда потребителя с него или с заказчика взимается плата за фактический простой номера (места в номере), но не более чем за сутки.

И тут нужно смотреть предусмотрен ли у Вас договором срок отказа от бронирования.

Как можете видеть от этого срока зависит условие удержания стоимости первых суток бронирования.

Может ли отель списать деньги с карты за сутки проживания, при отмене брони по причине болезни(есть справка из больницы).?

 Да, может и это будет законным, при условии, что у Вас имело место гарантированное бронирование.

Причем факт болезни значения иметь не будет.

Отказ у Вас будет иметь место по независящим причинам, что допускает возможным применение ст. 781 ГК РФ, которой оговорено, что 

3. В случае, когда невозможность исполнения возникла по обстоятельствам, за которые ни одна из сторон не отвечает, заказчиквозмещает исполнителю фактически понесенные им расходы, если иное не предусмотрено законом или договором возмездного оказания услуг.

В условиях отмены написано что в случае отмены списывают за сутки.

 Тогда у Вас речь идет о гарантированном бронировании — и такое списание допустимо.

И допустим если на карте нет денег, смогут ли они списать?

 Технически нет.

Но это не будет препятствием для взыскания с Вас указанной суммы в судебном порядке