Нужно ли платить за 4‑й квартал при отчислении из вуза и можно ли вернуть часть оплаты?

Также говорят, что оплата производится по факту обучения (до середины июля), а не по календарному году (до конца августа). Должен ли я вообще платить за 4й квартал/должен ли платить полную сумму?

 Оплату Вы должны произвести только за тот период в течении которого Вы не посещали занятия до даты Вашего отчисления.

Право на отказ от договора у Вас предусмотрено в силу ст. 782 ГК РФ.
Как только Вы подаете заявление об отказе от договора — то на эту дату не должны рассчитывать оплату за обучение.

За оставшийся период с мая по 13 августа 2024 г. (если заявление подаете сегодня) — Вы обязаны провести оплату.

В этом случае позиция вуза обоснована, несмотря на то, что в июне и июле Вы занятия не посещали.

Здесь учебное заведение будет руководствоваться исключительно ст. 781 ГК РФ в силу которой

2. В случае невозможности исполнения, возникшей по вине заказчика, услуги подлежат оплате в полном объеме, если иное не предусмотрено законом или договором возмездного оказания услуг.

Факт того, что Вы не заявляли о намерении досрочно расторгнуть договорные отношения, это является выражением Вашей воли к принятию услуг, а не посещение учебного заведения (не по вине исполнителя услуг) не свидетельствует об обратном.

Таким образом, поскольку услуги по обучению по программе соответствующего уровня считаются оказанными, а следовательно, должны быть  оплачены согласно договору, соответственно требования о взыскании являются обоснованными.

Чему в подтверждение сложившейся судебная практика. Например, 

Определение Третьего кассационного суда общей юрисдикции от 02.12.2020 N 88-17848/2020

В силу части 2 статьи 781 Гражданского кодекса невозможность исполнения услуги университетом по вине заказчика предоставляет ему право по взысканию стоимости обучения в полном объеме, поскольку ни законом, ни договором не предусмотрено иное.
При взыскании денежных средств судом принята во внимание сумма, списанная с банковского счета ответчика в ходе принудительного исполнения судебного акта, принятого в приказном производстве по заявлению образовательного учреждения, которая не может быть квалифицирована как неосновательное обогащение с начислением процентов за пользование чужими денежными средствами.
Соглашаясь с выводами суда первой инстанции, судебная коллегия по гражданским делам Санкт-Петербургского городского суда исходила из добросовестности и разумности действий участников гражданских правоотношений, которые реализуют свои права по своему усмотрению в силу статьи 10 Гражданского кодекса.