Сколько времени я могу не подписывать трудовой договор?

Здравствуйте. 

В соответствие с положениями ТК РФ, работник считается трудоустроенным при наступлении одного из событий:

— фактического подписания трудового договора обеими сторонами трудовых отношений;

— работник до оформления трудового договора в письменной форме приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. 

Вывод: трудовой договор не подписан но вы приступили к работе в компании работодателя, с этого дня считается трудовой стаж.

Сколько времени я могу не подписывать трудовой договор?

 по факту закон не имеет срока для обязательства на подписание трудового договора. в вашем случае вы уже приступили к работе с 10.06. и с этого дня будет считаться ваш трудовой стаж в данной компании.

Если остались вопросы, пишите.