Можно ли привлечь к ответственности за применение силы к моему ребёнку во дворе?

зафиксировали синяки на ребенке в больнице, справка имеется, 

Вам необходимо по Направлению от Полиции 02 мая пройти СМО (суд мед экспертизу). Затем примерно через неделю данное Заключение СМО отдадут сотрудникам полиции. 

Сейчас Вам также необходимо подать в полицию Заявление о возбуждении в отношении данного человека, который хватал Вашего ребенка, дела о привлечении его к административной ответственности за побои по ст. 6.1.1 КоАП РФ. 

КоАП РФ Статья 6.1.1. Побои

Нанесение побоев или совершение иных насильственных действий, причинивших физическую боль

www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34661/60181baf1ef1b44ac9f14a132d960f0008f1c155/

Далее продолжу. 

По данному составу правонарушения Полиция будет проводить Административное расследование. Это займет около 2х месяцев, после чего дело будет передано Мировому судье по месту нападения на Вашего ребенка. 

Мировой судья рассмотрит дело еще в течение около 2х месяцев. Вас будут вызывать в суд для дачи объянений, и может быть допрошен ребенок в присутствии педагога или психолога. 

Потерпевший — ребенок. Вы представитель потерпевшего. 

КоАП РФ Статья 25.2. Потерпевший

https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34661/a31cc985445a64e5e4faee48e2c90788568e682e/

КоАП РФ Статья 25.3. Законные представители физического лица

https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34661/b55a74d467e9b1454b0ce017de9dafe7e9e6cbe5/

После вступления в силу Постановления о привлечении данного лица к административной ответственности, Вы можете в интересах ребенка подать в суд Исковое заявление о компенсации морального вреда. 

ГК РФ Статья 151. Компенсация морального вреда

https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_5142/ec459f13483f7f47883f57fda6aace1b2cb86ac4/

Для составления Искового заявления о взыскании морального вреда — нажмите «Общаться в чате». 

синяки на ребенке

Если на теле ребенка только синяки, то данному гражданину грозит административная ответственность за побои.

Если причинен вред здоровью,  то уголовная.

Как избежать привлечения за то, что ребенок гулял во дворе один?

Женщина, заместитель директора спорт школы. Таких вообще нельзя держать рядом с детьми.

Подано заявление в полицию, сотрудник полиции не заинтересован очевидно. На всё отвечает «вы бы лучше за своим ребёнком следили». При этом говорит, что она тоже может подать на нас, что ребенок гулял один, без родителей.

Подать конечно может и заявление в полицию или в опеку, однако вам ничего не грозит.  Нет требования, согласно которому ребенку нельзя гулять самостоятельно не достигнув определенного возраста.

Вы можете зафиксировать на фото и видео повреждения на теле ребенка.

КоАП РФ Статья 6.1.1. Побои

 
влечет наложение административного штрафа в размере от пяти тысяч до тридцати тысяч рублей, либо административный арест на срок от десяти до пятнадцати суток, либо обязательные работы на срок от шестидесяти до ста двадцати часов.

Вероятно ей грозит административная ответственность.  И это к лучшему.  чем если бы ребенку был причинён вред здоровью.

Женщина, заместитель директора спорт школы. Таких вообще нельзя держать рядом с детьми.

Вы можете написать жалобу по данному поводу в Мин образование. А именно на официальный сайт  

Обычно подобные действия, получившие огласку, не остаются без внимания.