Можно ли игнорировать претензию клиента при отсутствии письменного договора?

Платежи были на физ карту с физ карты и без подписей

 А это роли не играет никакой. Если суммы совпадают с перепиской, где вы цену указывали и примерно совпадают даты- этого будет достаточно.

Весь вопрос для вас сводиться к доказыванию оказания услуг- то есть есть ли переписка или видео — где вы эти услуги оказали- и именно заказанные и принимает ли она их.

Если такая переписка есть — то эти требования можно отбить.

Причем на претензию нужно давать ответ в любом случае- тем более в рамках закона о защите прав потребителей. Отправить его лучше заказным письмом по почте с описью и + можно отправить скан по эл. почте или в мессенджере.

По поводу неосновательного обогащения, так согласно ст. 1102 ГК РФ 

Лицо, которое без установленных законом, иными правовыми актамиили сделкой оснований приобрело или сберегло имущество (приобретатель) за счет другого лица (потерпевшего), обязано возвратить последнему неосновательно приобретенное или сбереженное имущество (неосновательное обогащение), за исключением случаев, предусмотренных статьей 1109 настоящего Кодекса.

Между Вами был заключен договор, согласно ч. 2 ст. 434 ГК РФ.

При этом, также в ч. 1 ст. 1109 ГК РФ указывается, что не подлежит возврату как неосновательное обогащение денежные средства, которые были внесены до наступления  срока исполнения обязательства ( в претензии речь об авансе). 

Поэтому конкретно эти требования Заказчика могут быть неудовлетворены в связи с вышеизложенным мною. 

Но если у Заказчика претензия по качеству оказанной услуги, она может предъявить Вам требование согласно ст. 29 Закона РФ о защите прав потребителей, потому что Вы ИП.

Далее продолжу 

В конце претензии Заказчик ссылается положение ч. 6 ст. 13 Закона о защите прав потребителей, о присуждении штрафа, да, это положение законодательства действительно имеет место быть.

Можете подробнее ознакомиться по данной ссылке

https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_305/5311cc4c47a088e5ebc6a23b15f59fa70221f8ce/

Претензия просто составлена некорректно, вначале указано на то, что недостигнут оговоренный результат ( какой?), и подразумевается некачественная услуга, а далее про неосновательное обогащение ( некорректно). Либо Вы нарушили оговоренныйсрок оказания услуги, и в этом случае согласно ст. 28 Заказчик может откзааться от договора и требовать возврата денежных средств. Но как я понимаю, речь о недостатке ( результат не устроил). 

Поэтому Вы можете ответить, что как неосновательное обогащение денежные средства Вы не будете возвращать, так как у Вас договорные отношения. Причем в претензии сказано самим Заказчиком о том, что у вас сложились правоотношения в сфере оказания услуг. 

У Заказчика есть право требовать полного возврата денежных средств если выявлен именно существенный недостаток услуги, или существенное отступление от условий договора. Либо если она уже обращалась к Вам ранее с претензией и конкретными замечаниями по оказанной Вами услуге, и Вы не исправили эти замечания — не устранили недостаток услуги. 

А так она может требовать по своему выбору:

безвозмездного устранения недостатков оказанной услуги

соответствующего уменьшения цены оказанной услуги

повторное выполнение оказанной услуги

возмещения понесенных им расходов по устранению недостатковоказанной услуги своими силами или третьими лицами.

В данном случае, переписка на мой взгляд вам поможет доказать в суде( в случае предъявления иска), что перечисленные вам деньги не являются неосновательным обогащением, а являются платой за услуги.

По 1 и по 2 пункту моего ответа как итог, могу сказать, что суд в любом случае оценит доказательства по своему внутреннему убеждению. Никакие доказательства не имеют для суда заранее установленной силы (статья 67 ГПК РФ).

www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_39570/d70ec545bc657d409c92ce89d801f20ced32e1d2/