Я услышала, что воспитатель может перевестись из одного сада в другой по доверенностям руководителей, но все равно через увольнение

Тамара, здравствуйте!

По письменной просьбе работника или с его письменного согласия он может быть переведен на постоянную работу к другому работодателю (ч. 2 ст. 72.1 ТК РФ). При этом трудовой договор по прежнему месту работы прекращается (п. 5 ч. 1 ст. 77 ТК РФ).
Такой перевод может быть осуществлен на основе согласованного волеизъявления трех сторон: работника, прежнего и будущего работодателей (Письмо Минтруда России от 18.08.2017 № 14-2/В-761). Они могут выразить свою волю, например, путем составления трехстороннего соглашения либо обмена письмами. Обычно такое согласование оформляется адресованным работнику письменным приглашением будущего работодателя. На основании этого приглашения работник обращается к своему работодателю с заявлением об увольнении в порядке перевода к другому работодателю. К заявлению должна быть приложена копия приглашения на работу.

Таким образом, Тамара, перевод работника по его просьбе или с его согласия на постоянную работу к другому работодателю предполагает прекращение прежнего трудового договора и заключение нового на условиях, согласованных с новым работодателем. При таком переводе изменяется одна из сторон трудового договора — работодатель. Новый работодатель не вправе отказать в заключении трудового договора лицу, приглашенному в порядке перевода от другого работодателя. Данное правило действует в течение одного месяца со дня увольнения с прежнего места работы (ст. 64 ТК РФ).