Обязана ли мать-одиночка возвращать переплату по пособиям из-за ошибки ведомства?

Здравствуйте. Законных оснований требовать с Вас деньги у них нет. 

Согласно ст 1109 ГК РФ заработная плата и приравненные к ней платежи, пенсии, пособия, стипендии, возмещение вреда, причиненного жизни или здоровью, алименты и иные денежные суммы, предоставленные гражданину в качестве средства к существованию, при отсутствии недобросовестности с его стороны и счетной ошибки не подлежат возврату в качестве неосновательного обогащения. 
При открытии исполнительного производства, его можно будет обжаловать в суде. 
Закон не дает оснований для взыскания в судебном порядке суммы задолженности с работника, которому была излишне начислена заработная плата по вине работодателя. Счетной является ошибка, допущенная в арифметических действиях, то есть связанная с подсчетом. К счетным ошибкам не относится неправильное применение расчетчиком норм права или ошибочное использование в расчете ненадлежащих исходных данных. Технические ошибки, в том числе совершенные по вине работодателя, счетными не являются. На это прямо указывают Верховный Суд РФ и Роструд.
Будьте спокойны, а если дело дойдет до суда, скорее всего, он примет Вашу сторону.