Действительно ли для того, чтобы уволиться, требуется выполнение всего, что перечислено выше и насчет нового

С учетом моего уточнения выше далее:

Общие положения закрепляет ТК РФ Статья 71. Результат испытания при приеме на работу, можете ознакомиться полностью по следующей ссылке:https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/c4fb132fe85cc97656824c71c0727e1ef5cb8e10/

Из статьи следует:

Если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня.

т.е. они имеет полное право по закону уволиться согласно порядку предусмотренному данной статьей закона.

С дополнительными разъяснениями можете ознакомиться по следующей ссылке:

Роструд: генеральный директор вправе уволиться на испытательном сроке, предупредив об этом за три дня-https://www.garant.ru/news/1269807/#:~:text=Роструд%3A%20генеральный%20директор%20вправе%20уволиться, об%20увольнении%20по%20собственному%20желанию

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

насчет нового генерального директор, требуется ли дожидаться когда найдут другого человека или все это неправомерно

 Нет,  не должны дожидаться нового генерального директора. Действующий гендиректор имеет полное право зарегистрировать заявление об увольнении, по истечении трех дней после этого уволиться по собственному желанию, получить трудовую книжку и полный расчет. 

И в данной ситуации ему после увольнения нужно подать в ФНС уведомление о достоверности сведений о нем о единоличном исполнительном директоре — генеральном директоре. Это является важным моментом, чтоб не было потом претензий как к генеральному директору.