И какая форма договора в том или ином случае оформляется между сотрудником и работодателем?

Самозанятые могут быть ИП

Самозанятые, в том числе ИП, не могут иметь работников.

Теоретически возможно заключение договора ГПХ — на оказание услуг.

 (Надо учитывать, что есть судебная практика, по которой ГПХ, в том числе самозанятые, были признаны как работающие по трудовому договору, на основании того, что у них был единственный заказчик и работодатель осуществлял организацию их работы и предоставлял рабочее место. )

Формально ГПХ — возможность использовать услуги третьих лиц не запрещена в законе. 

Федеральный закон от 27.11.2018 N 422-ФЗ
(ред. от 28.12.2022)
«О проведении эксперимента по установлению специального налогового режима „Налог на профессиональный доход“

Статья 2. Общие положения
 
1. Применять специальный налоговый режим „Налог на профессиональный доход“ (далее также — специальный налоговый режим) вправе физические лица, в том числе индивидуальные предприниматели, местом ведения деятельности которых является территория любого из субъектов Российской Федерации, включенных в эксперимент и указанных в части 1 статьи 1 настоящего Федерального закона, за исключением территории федеральной территории „Сириус“, либо территория федеральной территории „Сириус“, либо территория города Байконура в период действия Договора аренды комплекса „Байконур“.

7. Профессиональный доход — доход физических лиц от деятельности, при ведении которой они не имеют работодателя и не привлекают наемных работников по трудовым договорам, а также доход от использования имущества.

10. Индивидуальные предприниматели, применяющие специальный налоговый режим, не освобождаются от исполнения обязанностей налогового агента, установленных законодательством Российской Федерации о налогах и сборах.

Статья 4. Налогоплательщики налога на профессиональный доход

2. Не вправе применять специальный налоговый режим:

4) лица, имеющие работников, с которыми они состоят в трудовых отношениях;