Здравствуйте Полина!
Да — обращение в трудовую инспекцию с заявлением о нарушении Ваших трудовых прав и незаконном увольнении в Вашем случае необходимо.
Рострудинспекция проведет проверку соблюдения организацией из которой Вас уволили трудового законодательства и в случае обнаружения нарушений укажет их в соответствующем Постановлении, которое можно будет использовать в суде при рассмотрении спора о восстановлении на работе.
Для сведения. В соответствии с Трудовым кодексом фактический допуск работника к выполнению трудовых функций уже является фактом заключения трудового договора, тот факт, что с Вами не был заключен трудовой договор, не издавался приказ о приеме на работу — уже является нарушением трудового законодательства.
В заявлении в труд инспекцию изложите в хронологическом порядке когда вы приступили к выполнению трудовых обязанностей и в качестве кого, когда вас уволили, приложите копии подтверждающих документов, попросите провести проверку изложенных фактов и уведомить Вас о результатах.
Кроме того за защитой нарушенных трудовых прав Вы так же можете обратиться в Прокуратуру направив туда аналогичное заявление.
Хорошего дня!