Добрый день, Юлия!
В соответствии со статьёй 127 Трудового кодекса РФ, действительно, при увольнении работнику выплачивается денежная компенсация за все неиспользованные отпуска. Поскольку этот отпуск должен был быть у предыдущего работодателя, то и выплачивать компенсацию должен он. Странно требовать компенсацию от нового работодателя, который вам пока ничего не должен.
В соответствии со статьёй 72.1 ТК РФ перевод на другую работу означает временное изменение трудовой функции работника, либо перевод на работу в другую местность вместе с работодателем. По письменной просьбе работника или с его письменного согласия может быть осуществлен перевод работника на постоянную работу к другому работодателю.
Как видите, перевод к другому работодателю — это право работодателей (предыдущего и нового), а не обязанность. Поэтому они сами вправе выбрать, использовать ли такой механизм или нет. Можете попросить, конечно, оформить вам перевод. Но в случае отказа вы не сможете его обжаловать.