Какой срок стажа там можно получить?

Выше в своем первом ответе, я привел общие положения трудового законодательства и приложил к ответу типовую форму письменного требования рекомендованную Рострудом РФ.

Что касается этих вопросов:

Каким образом и в какие максимально короткие сроки мне оформить пенсию? Есть ли какое-либо интеллектуальное решение, как этого добиться в моей ситуации раньше 57 лет (срок по многодетности)? Например, с 55 лет?

Общие положения указывающие на возраст, который дает право на оформление страховой пенсии по старости по общему возрасту, а также право на досрочное оформление страховой пенсии,  приведены в  Федеральном законе «О страховых пенсиях» от 28.12.2013 N 400-ФЗ, это статьи:

Статья 8. Условия назначения страховой пенсии по старости

http://www.consultant.ru/docum...

Статья 30. Сохранение права на досрочное назначение страховой пенсии

http://www.consultant.ru/docum...

И Статья 32. Сохранение права на досрочное назначение страховой пенсии отдельным категориям граждан, из которой как раз следует, что:

1.1) женщинам, родившим четырех детей и воспитавшим их до достижения ими возраста 8 лет, достигшим возраста 56 лет, если они имеют страховой стаж не менее 15 лет;
1.2) женщинам, родившим трех детей и воспитавшим их до достижения ими возраста 8 лет, достигшим возраста 57 лет, если они имеют страховой стаж не менее 15 лет;

http://www.consultant.ru/docum...

Т.е. нужны основания прямо указанные в этом федеральном законе, при их отсутствии право на страховую пенсию никак возникнуть не может.

Также  из разъяснений Пенсионного фонда РФ размещенных  по официальной ссылке следует, что:

Досрочные пенсии для многодетных матерей

Женщинам, родившим пятерых и более детей, пенсия, как и прежде, будет назначаться в 50 лет. А новое пенсионное законодательство установило льготы и для матерей с 3-мя и 4-мя детьми. Так мать троих детей сможет досрочно выйти на пенсию в 57 лет, а родившая четверых детей — в 56 лет.

https://pfr.gov.ru/branches/bu...

Т.е. к сожалению необходимо отвечать этим требованиям, в том числе и возрасту для досрочного оформления пенсии по данному основанию, иных вариантов законодательством РФ не предусмотрено.

Можно ли и каким образом мне оптимально использовать службу занятости для продления стажа? Какой срок стажа там можно получить? 55 лет мне исполняется в январе 2022.

В соответствии с положениями Федерального закона  «О страховых пенсиях» от 28.12.2013 N 400-ФЗ  Статья 12. Иные периоды, засчитываемые в страховой стаж следует, что:

1. В страховой стаж наравне с периодами работы и (или) иной деятельности, которые предусмотрены статьей 11 настоящего Федерального закона, засчитываются:

4) период получения пособия по безработице, период участия в оплачиваемых общественных работах и период переезда или переселения по направлению государственной службы занятости в другую местность для трудоустройства;

http://www.consultant.ru/docum...

Т.е. период получения пособия по безработице включается в страховой стаж наравне с периодами работы.

А потому конечно следует обратиться в службу занятости и встать на учет в качестве безработной с получением пособия по безработице, в таком случае этот период обязательно зачтут  в страховой стаж учитываемый при назначении страховой пенсии.