Дарья, добрый день!
В вопросе Вы указываете, что работодатель не подписывает заявление об увольнении. Поэтому быстрее всего в Вашем случае будет направить в адрес работодателя заявление об увольнении с требованием о выдаче оригинала трудовой книжки на руки — письмом с описью вложения с уведомлением о вручении.
Также вы можете обратиться к работодателю и вновь попробовать вручить ему заявление об увольнении, в случае отказа в принятии заявления Вам нужно составить соответствующий акт, в котором отразить подписи одного-двух свидетелей, подтверждающих, что работодатель отказывает в принятии заявления об увольнении.
С этим актом и заявлением об увольнении нужно обратиться в трудовую инспекцию. Им нужно предъявить требование о проведении проверки действий работодателя. Трудовая инспекция должна будет «выйти» на проверку и составить предписание.
Одновременно с обращением в трудовую инспекцию можно обратиться в Прокуратуру с требованием о проведении проверки действий работодателя. Они также проведут проверку и вынесут предписание.
Обычно комплекс действий помогает в решении таких практических задач, как в Вашем случае.
Что касается нового места работы — попробуйте написать заявление на электронную трудовую книжку. В этом случае, возможно, работодатель пойдет на то, чтобы трудоустроить Вас без трудовой книжки, но с последующим её предоставлением.