Можно ли мне открыть больничный и таким образом закрыть отработку в 2 недели?

Здравствуйте! В соответствии со ст.80 Трудового кодекса РФ-

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

Право на увольнение вы имеете и в период нахождения на больничном. Ничего «дорабатывать» вам не придется.

Если Вы желаете получить более подробную консультацию по данному вопросу, либо у Вас имеется другой вопрос, то можете обращаться ко мне в чат. Готов оказать Вам помощь в составлении документов.  При необходимости  составлю   документы в прокуратуру, суд, иные организации.
Услуги в чате оказываются на платной основе.

Здравствуйте, Александра!

Понятия отработки при увольнении по собственному желанию в действующем законодательстве не существует.
Согласно ч.1 ст.80 ТК РФ Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
Если Вы нуждаетесь в дополнительной консультации и/или иных услугах, они могут быть оказаны Вам на платной основе. Для этого напишите мне в личный чат.  
С уважением, Александр Кремнёв.