Уволили мать-одиночку

Добрый день, Анастасия! Расторжение бессрочного трудового договора «после письменного заявления одной из сторон», если говорить в данном случае про работодателя, противоречит действующему трудовому законодательству, соответственно этот пункт трудового договора ничтожен. Увольнение вас по такому основанию незаконно. Вы можете обратиться с жалобой в Гос. труд.инспекцию и потребовать восстановить вас на работе через суд с выплатой компенсации за вынужденный  прогул. И к стати, трудовую книжку вам на старом месте обязаны были выдать в день увольнения. Отсутствие в ней записи при наличии трудового договора значения не имеет.

Удачи вам!

В соответствии со статьей 61 Трудового кодекса РФ «Трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем» — соответственно трудовой договор считается заключенным. В статье 65 ТК РФ вы должны были предоставить трудовую книжку работодателю. А так же в данной статье указанно: 
«В случае отсутствия у лица, поступающего на работу, трудовой книжки в связи с ее утратой, повреждением или по иной причине работодатель обязан по письменному заявлению этого лица (с указанием причины отсутствия трудовой книжки) оформить новую трудовую книжку.»

В статье 68 ТК РФ говорится о издании работодателем приказа(распоряжения) на основании заключенного трудового договора. Такой приказ был?(вы должны были его подписать). Требуйте копию! 

Указанные вами обстоятельства на которые ссылается работодатель отсутствуют в статье 81 ТК РФ — соответственно расторжение данного трудового договора незаконно!
Обращаетесь в трудовую инспекцию и суд!
Удачи!