Здравствуйте, Наталья.
1. В соответствии с законом Вы являетесь наследником по закону в отношении имущества своего отца. (см. ст.1111, ст.1141, ст.1142 ГК РФ) и вправе наследовать, если отцом не было составлено завещания в пользу иных лиц.
2. Нахождение у соседки свидетельства о смерти и ее расходы на похороны не являются основаниями для принятия наследства ею, но ею могут быть предъявлены к наследникам требования о возмещении произведенных ею расходов. (ст.1174 ГК РФ). Повторное свидетельство о смерти отца Вы вправе запросить в ЗАГС, доказав родство.
3. Принадлежность отцу квартиры, записанной до сих пор на бабушку, нужно доказывать. В зависимости от того, был ли он зарегистрирован в квартире на день смерти бабушки, или нет, зависит вопрос — придется ли обращаться в суд. Однозначно придется в том случае, если не был зарегистрирован. (ст.1112, ст.1152 ГК РФ, ст.1153 ГК РФ, ст.1154 ГК РФ).
4. Учитывая образ жизни отца, не исключено, что у него имелись долги, поэтому следует иметь ввиду, что наследники, принявшие наследство, отвечают по долгам наследодателя в пределах стоимости принятого ими наследства (ст.1175 ГК РФ).
5. При непринятии наследства никем из потенциальных наследников квартира отойдет в собственность муниципального образования. (ст.1151 ГК РФ).
Если Вам требуются более подробные разъяснения, касающиеся вопросов наследования, они возможны в рамках индивидуальной консультации в чате (кнопка «общаться в чате» рядом с фото юриста, либо из профиля https://pravoved.ru/lawyer/148...), там же возможны услуги по составлению документов (при необходимости). Индивидуальные консультации и услуги по составлению документов оказываются на платной основе, стоимость по договоренности.
Обращайтесь, буду рад Вам помочь!
С уважением