Может ли он рассчитаться в любое время, и имеет ли силу его заявление об увольнении

Добрый день.

Согласно статье 80 Трудового кодекса, если по истечении срока предупреждения об увольнении трудовой договор не был расторгнут и работник не настаивает на увольнении, то действие трудового договора продолжается. 

Таким образом если работник продолжил работать и с ним не расторгли договор (не вынесли приказ и не рассчитали) то заявление утрачивает силу и трудовые отношения продолжаются как и до этого.

Надеюсь что помог Вам в решении этого вопроса.