Здравствуйте, Юлия,
Для начала вы можете подать заявление о взыскании алиментов, они взыскиваются с момента обращения в суд. Если детям менее трех лет, вы можете взыскать алименты и на себя.
Брак расторгается в судебном порядке, поскольку у вас дети. Для этого нужно подать мировому судье исковое заявление о расторжении брака.
Если квартира куплена в браке, у вас есть право ее разделить. У бывшего мужа несть право взыскать с вас половину того, что он выплатит банку после развода. Вы можете просто остаться проживать в квартире.
Вы не указали, где вы зарегистрированы, когда куплена квартира и на кого она оформлена, заключали ли вы брачный договор, сколько лет детям.
С уважением, Андрей Козырев
С учётом дополнений — можно спокойно жить в этой квартире, кто первый съедет, тот съедет. Если в квартире 2 и более комнаты, можно порядок пользования определить.