Наталья, здравствуйте! У Центра занятости нет обязанности оплачивать Вам больничный. В силу части 3 статьи 13 Федерального закона от 29.12.2006 N 255-ФЗ «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством»
застрахованному лицу, утратившему трудоспособность вследствие заболевания или травмы в течение 30 календарных дней со дня прекращения работы по трудовому договору, служебной или иной деятельности, в течение которой оно подлежало обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством, пособие по временной нетрудоспособности назначается и выплачивается страхователемпо его последнему месту работы (службы, иной деятельности) либо территориальным органом страховщика в случаях, указанных в части 4 настоящей статьи.
На будущее (спустя более 30 дней со дня увольнения), если вас признают безработной и вы заболеете, больничный всё равно берите, чтобы показать в ЦЗ, что вы пропустили явку для отметки по уважительной причине. Пособие будет выплачено, а больничный оплачиваться не будет потом.