Могу ли я избежать этих выплат в таком случае?

Договора аренды не было, но это не значит, что ущерб имуществу не причинен по Вашей вине. Тем более, что в ГАИ зафиксировали, что Вы были за рулем, и заявить в суде что автомобилем не пользовались и вообще в первые его видите не получится.

В целом, требовать от Вас компенсации ущерба компания вправе. Сумму же она должна подтвердить заключением экспертизы или чеками/квитанциями, подтверждающими ремонт. В суде Вы можете оспорить сумму выплат и постараться её уменьшить. 

Добрый день.

Факт заключения договора не влияет на обязанность возмещения вреда имущества при наличии виновных действий. Размер ущерба оспорить возможно.

ГК РФ Статья 1064. Общие основания ответственности за причинение вреда

Законом обязанность возмещения вреда может быть возложена на лицо, не являющееся причинителем вреда.
Законом или договором может быть установлена обязанность причинителя вреда выплатить потерпевшим компенсацию сверх возмещения вреда. Законом может быть установлена обязанность лица, не являющегося причинителем вреда, выплатить потерпевшим компенсацию сверх возмещения вреда.

2. Лицо, причинившее вред, освобождается от возмещения вреда, если докажет, что вред причинен не по его вине. Законом может быть предусмотрено возмещение вреда и при отсутствии вины причинителя вреда.

3. Вред, причиненный правомерными действиями, подлежит возмещению в случаях, предусмотренных законом.
В возмещении вреда может быть отказано, если вред причинен по просьбе или с согласия потерпевшего, а действия причинителя вреда не нарушают нравственные принципы общества.