Что можно делать в данной ситуации?

В силу ст. 15 ФЗ от 15.08.1996 N 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию»

ограничить в выдаче заграничного паспорта могут только в случае принятия призывной комиссией решения о призыве на военную службу

Право гражданина Российской Федерации на выезд из Российской Федерации может быть временно ограничено в случаях, если он:
2) в соответствии с законодательством Российской Федерации призван на военную службу или направлен на альтернативную гражданскую службу, — до окончания военной службы или альтернативной гражданской службы;

Решение о призыве принимается призывной комиссией и в день его принятия заносится в протокол заседаний. 

Только при наличии такого решения лицо, считается призванным на военную службу.

В целях реализации данного ограничения действительно подразделение по вопросам миграции направляет межведомственный запрос в военный комиссариат.

Последний в силу приказа Министра обороны РФ от 02.10.2007 N 400

23. При рассмотрении вопроса о выезде гражданина из Российской Федерации военным комиссариатом для представления в паспортно-визовую службу органа внутренних дел, оформляющего документы на выезд, выдаются:
гражданину, в отношении которого призывной комиссией не принято решение о призыве на военную службу или о направлении на альтернативную гражданскую службу, — справка согласно приложению N 2 к настоящему Порядку;гражданину, в отношении которого призывной комиссией принято решение о призыве на военную службу или о направлении на альтернативную гражданскую службу, — справка согласно приложению N 3 к настоящему Порядку.

И только при получении указанной справки могут ограничить право на выезд и отказать в выдаче заграничного паспорта. 

В Вашем случае у Вас действительно просрочен срок обжалования, что предполагает необходимость повторного обращения за выдачей ранее изготовленного заграничного паспорта и при получении отказа в его выдаче — в течение 3-х месяцев подать иск в суд.

О явке на призывной пункт. Если я получу новый отказ, и начну его обжаловать, смогу ли я все это делать удаленно? 

Старый отказ оспаривать бессмысленно, так как пропущен срок обжалования по статье 219 КАС РФ.

Потому я и предложил подать новое обращение.

Кодекс административного судопроизводства

Статья 219. Срок обращения с административным исковым заявлением в суд
 
1. Если настоящим Кодексом не установлены иные сроки обращения с административным исковым заявлением в суд, административное исковое заявление может быть подано в суд в течение трех месяцев со дня, когда гражданину, организации, иному лицу стало известно о нарушении их прав, свобод и законных интересов.

8. Пропуск срока обращения в суд без уважительной причины, а также невозможность восстановления пропущенного (в том числе по уважительной причине) срока обращения в суд является основанием для отказа в удовлетворении административного иска.

Может ли суд обязать меня подписать повестки? Можно ли сделать все удаленно?