Юлия, здравствуйте!
Нет, предоставление права пользования автомобилем на основании соглашения (пусть письменно и не оформленного) угоном не является.
Неправомерное завладение автомобилем или иным транспортным средством без цели хищения (угон) — (ч. 1 ст. 166 УК РФ)
Заявление об угоне при отсутствии правовых оснований может являться основанием для возбуждения уголовного дела (в отношении заявителя) о заведомо ложном доносе.
Заведомо ложный донос о совершении преступления — наказывается штрафом в размере до ста двадцати тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до одного года, либо обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов, либо исправительными работами на срок до двух лет, либо принудительными работами на срок до двух лет, либо арестом на срок до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до двух лет. (ч. 1 ст. 306 УК РФ)
Правовым основанием для предъявления иска является причинение вреда имуществу.
Указание в иске конкретной нормы закона (внедоговорный вред либо вред в связи с договором о предоставлении пользования автомобилем) будет зависеть от доказательств, которыми Вы располагаете. К доказательствам относится, в том числе, переписка в мессенджерах, по электронной почте.
С уважением, Александр Васильев