Обязан ли тот, кто принимал меня на стажировку, предоставить подписанный мной документ?

Здравствуйте. Понятия стажировки в ТК РФ нет. Есть понятие испытательного срока. Ст. 70 ТК РФ

При заключении трудового договора в нем по соглашению сторон может быть предусмотрено условие об испытании работника в целях проверки его соответствия поручаемой работе.

В соответствии со ст.  67 ТК РФ Вы вправе требовать выдать Вам Ваш экземпляр трудового догооора

Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.