Нужно ли при увольнении предоставлять ИНН с новой фамилией?

Да, вам надо обратиться в налоговую инспекцию по месту жительства с заявлением, в котором сообщите о смене своей фамилии. Налоговая инспекция выдаст новое свидетельство, в котором будет указана новая фамилия, а сам ИНН останется прежним. Бухгалтерия, всегда когда начисляет вам заработную плату, в том числе и при увольнении, должна начислить и удержать из неё подоходный налог. В бухгалтерии сейчас ИНН на старую фамилию, а чтобы правильно все было по документам оформлено, нужно ИНН на новую фамилию. Для этого бухгалтерия и просит вас сходить в налоговую инспекцию и получить новое свидетельство об ИНН. 

Вопрос еще в том, вы предоставляли в свой отдел кадров документы о смене фамилии? Если да, то у бухгалтерии есть все основания требовать от вас получить новое свидетельство. Потому что по документам вашей организации у вас другая фамилия.Вы конечно же можете ничего не делать, уволится, а работодатель обязан своевременно произвести расчет в день увольнения, в соответствии со ст.140 ТК РФ. Но я допускаю, что бухгалтерия не пойдет на нарушение и не станет начислять вам расчетные. В таком случае вы можете обжаловать действия работодателя в государственную инспекцию по труду, прокуратуру или суд. Потратите на это время, но все равно вы будете вынуждены получить новое Свидетельство. Со старым вас не будут оформлять на другой работе.