Можно ли в судебном порядке подать иск за то время, которое нас не оформляли по трудовому договору?

Здравствуйте.

Да, работодатель был обязан заключить договор в трехдневный срок. У такого судебного иска хорошие перспективы. Нужно будет только доказать сам факт исполнения обязанностей с определенной даты. Допустимы свидетельские показания. Коллективный иск с другими сотрудниками  в этой части может упростить задачу.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 17.03.2004 N 2 (ред. от 24.11.2015) «О применении судами Российской Федерации Трудового кодекса Российской Федерации»

12. Судам необходимо иметь в виду, что трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах (если трудовым законодательством или иным нормативным правовым актом, содержащим нормы трудового права, не предусмотрено составление трудовых договоров в большем количестве экземпляров), каждый из которых подписывается сторонами (части первая, третья статьи 67 ТК РФ). Прием на работу оформляется приказом (распоряжением) работодателя, содержание которого должно соответствовать условиям заключенного трудового договора (часть первая статьи 68 ТК РФ). Приказ (распоряжение) работодателя о приеме на работу должен быть объявлен работнику под роспись в трехдневный срок со дня фактического начала работы (часть вторая статьи 68 ТК РФ).
(в ред. Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 28.09.2010 N 22)
Если трудовой договор не был оформлен надлежащим образом, однако работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного представителя, то трудовой договор считается заключенным и работодатель или его уполномоченный представитель обязан не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения к работе оформить трудовой договор в письменной форме (часть вторая статьи 67 ТК РФ). При этом следует иметь в виду, что представителем работодателя в указанном случае является лицо, которое в соответствии с законом, иными нормативными правовыми актами, учредительными документами юридического лица (организации) либо локальными нормативными актами или в силу заключенного с этим лицом трудового договора наделено полномочиями по найму работников, поскольку именно в этом случае при фактическом допущении работника к работе с ведома или по поручению такого лица возникают трудовые отношения (статья 16 ТК РФ) и на работодателя может быть возложена обязанность оформить трудовой договор с этим работником надлежащим образом.