Правомерно ли требование написания заявления в ЦЗН по установленному образцу?

Заявление о возмещении расходов на переезд (местный закон).

Даже интересует не конкретный случай, а вообще: можно ли подавать обращение в свободной форме, при наличии у организации установленной формы обращения.

Смотрите на Ваш случай имеется Приказ от 3 октября 2017 года N 1759

Об утверждении Административного регламента предоставления государственной услуги по содействию безработным гражданам в переезде и безработным гражданам и членам их семей в переселении в другую местность для трудоустройства по направлению органов службы занятости

(с изменениями на 6 мая 2019 года): 

п.24. Для принятия решения о возмещении затрат, связанных с переездом в другую местность для трудоустройства по направлению ЦЗН заявитель представляет:
1) заявление на возмещение затрат, связанных с переездом в другую местность для трудоустройства по направлению Центра занятости(в произвольной форме)

и далее перечисляются другие документы:

2) документ, удостоверяющий личность гражданина (в случае если от имени гражданина действует лицо, являющееся его представителем в соответствии с законодательством Российской Федерации, то дополнительно предъявляется документ, удостоверяющий личность представителя, и документ, подтверждающий соответствующие полномочия); 3) отрывную часть выданного центром занятости населения направления на работу в другую местность; 4) копию трудового договора, заключенного безработным гражданином с работодателем в соответствии с направлением на работу в другую местность, заверенную работодателем в установленном порядке; 5) копию приказа о приеме на работу, заверенную работодателем в установленном порядке; 6) документы, подтверждающие расходы по оплате проезда к месту работы и обратно, суточные расходы за время следования к месту работы и обратно, расходы по найму жилого помещения за время пребывания в другой местности в период работы.