Здравствуйте, Никита! К сожалению, нахождение квартиры в старой части города не является законным основанием для отказа от неё.
Пункт 7 ст. 8 Федерального закона «О дополнительных гарантиях по социальной поддержке детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей» от 21.12.1996 N 159-ФЗ
По договорам найма специализированных жилых помещений они предоставляются лицам, указанным в пункте 1 настоящей статьи, в виде жилых домов, квартир, благоустроенных применительно к условиям соответствующего населенного пункта, по нормам предоставления площади жилого помещения по договору социального найма.
Отказаться от предоставляемой квартиры Вы могли бы только в том случае, если бы она не была благоустроенной, либо меньшей площади, либо в другом населённом пункте. Выдавать квартиру в удобном раойне у администрации оснований нет.