Анна, здравствуйте!
Ранее написанное заявление, без сомнения имеет силу. Более того, продолжение работы в таких условиях является принудительным трудом, который в России запрещен (ст. 4 ТК РФ).
Другое дело, что в случае спора по факту подачи заявления об увольнении, Вам необходимо будет предоставить доказательства его написания и передачи работодателю (свидетельские показания безусловно одно из средств доказывания, только не очень надежное в том отношении, что свидетель может и «забыть» что он видел).
Спор может, например, иметь место в следующем случае: после истечения двухнедельного срока предупреждения об увольнении по собственному желанию (ст. 80 ТК РФ), Вы не выходите на работу, а работодатель вместо оформления документов об увольнении по собственному желанию (ч. 3 ст. 77 ТК РФ) увольняет Вас за прогул (п. 6 ст. 81 ТК РФ).
Соответственно, решение вопроса о том, что делать в сложившейся ситуации: (1) воспользоваться своим законным правом не выходить на работу после истечения срока для предупреждения работодателя об увольнении или (2) написать новое заявление и собрать «более весомые» доказательства его передачи работодателю будет зависеть (а) от того, насколько для Вас критичны сроки (можете ли Вы «повременить с прекращением трудового договора) и (б) от того, готовы ли Вы тратить силы, нервы и деньги на спор с работодателем.
С уважением, Александр Васильев