И нужно ли согласие отца ребёнка?

Здравствуйте Мария. 

Согласие второго родителя конечно предполагается, ведь они имеет такие же права в отношении ребенка.

СК РФ Статья 61. Равенство прав и обязанностей родителей
 

1. Родители имеют равные права и несут равные обязанности в отношении своих детей (родительские права).

Но при самой процедуре регистрации именно письменного согласия от него или личного присутствия не требуется.

Это следует к примеру в том числе и из официальный разъяснения органов МВД РФ по официальной ссылке:

Для регистрации несовершеннолетнего ребенка одним из родителей требуется согласие от второго родителя, если он зарегистрирован по месту жительства в другом жилом помещении.Нормативно-правовые акты не содержат требования о том, что второй родитель должен присутствовать при подаче документов на регистрацию ребенка, либо выражать свое согласие в письменном виде.

https://04.мвд.рф/document/217...

Т.е. Вы вправе зарегистрировать ребенка самостоятельно, а если второй родитель будет с этим не согласен, пусть обращается в суд и доказывает свои требования,

Статья 65 Семейного кодекса РФ:

3. Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей.
При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. 

 на порядок регистрации несовершеннолетнего только по Вашему заявлению, это не влияет.

Здравствуйте, Мария.

Приказом МВД России от 31.12.2017 N 984 «Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации» определено, что

50. При регистрации по месту жительства несовершеннолетних граждан со дня рождения и до достижения ими 14-летнего возраста одновременно с заявлением о регистрации по месту жительства законный представитель представляет следующие документы:
50.1. Свидетельство о рождении несовершеннолетних граждан, не достигших 14-летнего возраста.
50.2. Паспорта законных представителей.

Как видно, согласия второго родителя для регистрации не требуется. Нормативные правовые акты не содержат требования о том, что второй родитель должен присутствовать при подаче документов на регистрацию ребенка, либо выражать свое согласие в письменном виде.