Что делать, если не хотят снимать с учета в военкомате по старому месту жительства?

Здравствуйте, Алексей! Хотят они этого или не хотят, это проблемы уже не Ваши. Вы обязаны во избежание привлечения к ответственности выполнить требования, предусмотренные ст. 10 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе»:

В целях обеспечения воинского учета граждане обязаны:

сообщить в двухнедельный срок в военный комиссариат либо в соответствующий орган местного самоуправления поселения или соответствующий орган местного самоуправления городского округа, осуществляющий первичный воинский учет, об изменении семейного положения, образования, места работы или должности, о переезде на новое место жительства, расположенное в пределах территории муниципального образования, или место пребывания;

явиться в двухнедельный срок в военный комиссариат для постановки на воинский учет, снятия с воинского учета и внесения изменений в документы воинского учета при переезде на новое место жительства, расположенное за пределами территории муниципального образования, место пребывания на срок более трех месяцев либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию.

ТО есть, Вы в прежнем военкомате обязаны сообщить об изменении места жительства (лучше сделайте это письменно),  а в военкомат по новому месту жительства обязаны явиться в двухнедельный срок и встать на учёт. Как они будут передавать между собой Ваше личное дело, это уже не Ваша проблема. 

Здравствуйте! Вам следует явиться в военный комиссариат по новому месту жительства и встать на воинский учёт, отказать вам не вправе.

В соответствии с п. 1 ст. 10 Федерального закона от 28 марта 1998 г. № 53-ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» в целях обеспечения воинского учета граждане обязаны явиться в двухнедельный срок в военный комиссариат для постановки на воинский учет, снятия с воинского учета и внесения изменений в документы воинского учета при переезде на новое место жительства, расположенное за пределами территории муниципального образования, место пребывания на срок более трех месяцев либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию.
В соответствии с пп. д п. 50 Положения о воинском учёте, утв. Постановлением Правительства РФ от 27.1.2006 г. №719, граждане, подлежащие воинскому учёту, обязаны сняться с воинского учета при переезде на новое место жительства или место пребывания (на срок более 3 месяцев), а также при выезде из Российской Федерации на срок более 6 месяцев и встать на воинский учет в 2-недельный срок по прибытии на новое место жительства, место пребывания или возвращении в Российскую Федерацию.
В соответствии с пп. 9 Приложения №9 к Инструкции по подготовке и проведению мероприятий, связанных с призывом на военную службу граждан Российской Федерации, не пребывающих в запасе (Приложение №1 к Приказу Министра обороны РФ от 02.10.2007 г. № 400) военный комиссариат не вправе отказать призывнику в постановке на воинский учет по причине отсутствия в удостоверении отметок о наличии отсрочки от призыва на военную службу или о снятии с воинского учета по прежнему месту жительства, а также по причине наличия записи об ограничении его годности к военной службе.