Может ли физ лицо заключить трудовой договор на ремонт квартиры?

Здравствуйте, Анастасия! Нет. Кроме того, полагаю, что физ. лицу это не нужно. Такой договор не будет отвечать требованиям трудового законодательства:

Трудовой договор — соглашение между работодателем и работником, в соответствии с которым работодатель обязуется предоставить работнику работу по обусловленной трудовой функции, обеспечить условия труда, предусмотренные трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами и данным соглашением, своевременно и в полном размере выплачивать работнику заработную плату, а работник обязуется лично выполнять определенную этим соглашением трудовую функцию в интересах, под управлением и контролем работодателя, соблюдать правила внутреннего трудового распорядка, действующие у данного работодателя.

Заключая трудовой договор, работодатель берёт на себя обязательства, в том числе по соблюдению налогового, пенсионного, трудового  законодательства,  в том числе  по перечислению взносов на обязательное страхование работника, НДФЛ. В Вашем случае это- гражданско-правовой  договор подряда.