Должны ли были выплачивать мне квартальные премии?

Здравствуйте, Любовь. На период отпуска по уходу за ребенком сохранение заработка положениями трудового законодательства не предусмотрено. Поэтому, выплаты премии квартальные и годовые, доплаты за выслугу лет и другие выплаты осуществляться не должны. 

Вместе с тем, если согласно положениям ст. 256 ТК РФ Вы работали на условиях неполного рабочего времени, то в таком случае эти выплаты Вам должны производится в соответствии с локальными нормативными актами работодателя.