Что делать, если меня заставляют написать заявление об увольнении?

Татьяна, конечно же заявление писать по собственному желанию не надо. Не перевести Вас они тоже не имеют права.

Уволить по ст. 75 ТК РФ, то есть при смене собственника имущества предприятия, можно только руководящий состав. На других работников такое обстоятельство не распространяется и не является основанием для прекращения трудовых отношений.
При смене собственника имущества организации сокращение численности или штата работников допускается только после государственной регистрации перехода права собственности.
Изменение подведомственности (подчиненности) организации или ее реорганизация (слияние, присоединение, разделение, выделение, преобразование) либо изменение типа государственного или муниципального учреждения не может являться основанием для расторжения трудовых договоров с работниками организации или учреждения.

Кроме этого при разного рода реорганизаций предприятием должен быть соблюден некоторый порядок предусмотренный действующим законодательством РФ, это и уведомление за 2 месяца о сокращении штата, если вдруг ваша должность будет сокращаться, при этом Вам должны будут выплатить компенсацию. Сокращение не возможно если женщина в декретном отпуске или находятся в отпуске по уходу за своим ребёнком до достижения им трёх лет.
Таким образом, Вам ничего не делать, ждать своего выхода на работу. В случае если Ваши права будут нарушены обратится за восстановлением нарушенных  прав в суд.
Вероятнее всего, до этого дело не дойдет, потому что каждый руководитель старается по возможности избежать неприятностей, а предложение об увольнении по собственному желанию, было сделано с расчетом о возможной некомпетентности в данном вопросе.

Всего доброго!