Здравствуйте. Как собственник имущества, вы можете делать с имуществом что угодно, в том числе и оформить дарственную на отца, но при Вашей выписке из квартиры и изменении лицевого счета в расчетном центре именно ВАС попросят погасить все долги. Или договоритесь с отцом, что квартира будет его, но для снятия Вас с регистрационного учета и его прописки ОН должен погасить весь долг.
Еще момент, как долго Ваш отец не платить за ЖКУ? Если более года, то возможно есть судебный приказ на Ваше имя и исполнительное производство на Ваше имя. Это нужно у приставов уточнять. При смене собственника Надо будет обязательно делать замену стороны в производстве, иначе приставы будут вас беспокоить по непогашенным долгам.