Здравствуйте, Валерия!
Да, так можно сделать. Зарегистрируют вас примерно через неделю с момента подачи заявления о регистрации. Точный срок зависит от разных обстоятельств.
Проще всего для регистрации обратиться в МФЦ или подать заявление через Госуслуги. Заранее сниматься с регистрационного учёта не нужно: когда вас будут регистрировать по новому месту жительства, вас одновременно снимут с регистрационного учёта по старому месту жительства.
Убедитесь, что у вас есть документы, подтверждающие право на оба жилых помещения, в которых вы собираетесь регистрироваться.
Закон не запрещает менять место жительства хоть каждый день — запрещена только фиктивная регистрация (статья 322.2 Уголовного кодекса РФ). Говорю об этой статье только потому, что о ней немногие знают, а не потому, что вас могут привлечь к ответственности. Если вы действительно уезжаете в другой город и живёте там месяц, а потом возвращаетесь, то вам ничего не грозит. Правда, в таком случае можно вообще не регистрироваться в новой квартире.