Добрый день, Александр!
Ответ на вопрос зависит от того, имеются ли у Вас какие-либо доказательства проведения переговоров, согласования предмета договора, указания клиента в отношении услуги и т.д. Это могут быть электронные сообщения (почта), смс, письма и т.д.
Наличие этих сведений, если в них указаны те характеристики разрабатываемого сайта, которые являются спорными, дает Вам шанс направить претензию клиенту с указанием на эти обстоятельства. Предложить заключить реальный договор с техническим заданием, сметой и т.д, заложив проведенные работы, которые согласовал клиент ранее (и в отношении которых у Вас имеются доказательства).
В любом случае работу придется переделывать под желания клиента, поскольку в отсутствие договора он может сослаться на ст. 782 ГК РФ и потребовать вернуть предоплату. Отказаться Вы не вправе, фактически проделав работу бесплатно.
Если же у Вас нет никаких свидетельств, то придется вернуть деньги. ГК РФ на стороне услугополучателя.