Вправе ли организация вновь заключать срочный трудовой договор?

Могу предположить, что необходимость заключения срочного трудового договора в Вашей организации обоснована одним из выделенных пунктов статьи 59 ТК РФ, хотя я сомневаюсь, что он применен правомерно, однако неправомерность можно установить только в судебном порядке, вместе с тем срочный трудовой договор заключается на срок не более 5 лет, в вашем случае общий срок работы по срочным трудовым договорам в конце 2018 года будет как раз 5 лет. В людом случае, учитывается общее время работы в организации, независимо от того, сколько раз перезаключался трудовой договор.

«Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 05.02.2018)Статья 59. Срочный трудовой договор

 Срочный трудовой договор заключается:

— на время исполнения обязанностей отсутствующего работника, за которым в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, трудовым договором сохраняется место работы;
— на время выполнения временных (до двух месяцев) работ;
— для выполнения сезонных работ, когда в силу природных условий работа может производиться только в течение определенного периода (сезона);
— с лицами, направляемыми на работу за границу;
— для проведения работ, выходящих за рамки обычной деятельности работодателя (реконструкция, монтажные, пусконаладочные и другие работы), а также работ, связанных с заведомо временным (до одного года) расширением производства или объема оказываемых услуг;
— с лицами, поступающими на работу в организации, созданные на заведомо определенный период или для выполнения заведомо определенной работы;
— с лицами, принимаемыми для выполнения заведомо определенной работы в случаях, когда ее завершение не может быть определено конкретной датой;
— для выполнения работ, непосредственно связанных с практикой, профессиональным обучением или дополнительным профессиональным образованием в форме стажировки;

— в случаях избрания на определенный срок в состав выборного органа или на выборную должность на оплачиваемую работу, а также поступления на работу, связанную с непосредственным обеспечением деятельности членов избираемых органов или должностных лиц в органах государственной власти и органах местного самоуправления, в политических партиях и других общественных объединениях;
— с лицами, направленными органами службы занятости населения на работы временного характера и общественные работы;
— с гражданами, направленными для прохождения альтернативной гражданской службы;
— в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом или иными федеральными законами.
По соглашению сторон срочный трудовой договор может заключаться:
— с лицами, поступающими на работу к работодателям — субъектам малого предпринимательства (включая индивидуальных предпринимателей), численность работников которых не превышает 35 человек (в сфере розничной торговли и бытового обслуживания — 20 человек);
— с поступающими на работу пенсионерами по возрасту, а также с лицами, которым по состоянию здоровья в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, разрешена работа исключительно временного характера;
с лицами, поступающими на работу в организации, расположенные в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностях, если это связано с переездом к месту работы;
— для проведения неотложных работ по предотвращению катастроф, аварий, несчастных случаев, эпидемий, эпизоотий, а также для устранения последствий указанных и других чрезвычайных обстоятельств;
— с лицами, избранными по конкурсу на замещение соответствующей должности,  проведенному в порядке, установленном трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права;
— с творческими работниками средств массовой информации, организаций кинематографии, театров, театральных и концертных организаций, цирков и иными лицами, участвующими в создании и (или) исполнении (экспонировании) произведений, в соответствии с перечнями работ, профессий, должностей этих работников, утверждаемыми Правительством Российской Федерации с учетом мнения Российской трехсторонней комиссии по регулированию социально-трудовых отношений;
— с руководителями, заместителями руководителей и главными бухгалтерами организаций, независимо от их организационно-правовых форм и форм собственности;

— с членами экипажей морских судов, судов внутреннего плавания и судов смешанного (река — море) плавания, зарегистрированных в Российском международном реестре судов;

— с лицами, поступающими на работу по совместительству;

— в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом или иными федеральными законами.