Добрый день, Александра!
Придти в отдел МВД и попросить выпустить Вашего молодого человека Вы, конечно, можете, никто Вас в этом праве не ограничивает.
При этом следует учитывать, что мера пресечения зависит от тяжести совершённого преступления. Если Ваш молодой человек задержан за совершение тяжкого или особо тяжкого преступления, то его никто под подписку не выпустит, во всяком случае, вероятность этого крайне мала.
Если же он задержан за совершение преступления небольшой или средней тяжести, то его, вероятнее всего, отпустят под подписку и без Вашей просьбы.
При решении вопроса об избрании меры пресечения просьбы родственников, а тем более, лиц, которые не являются родственниками, решающего значения не имеют.
Если это был именно грабёж, а не кража, то это относится к категории тяжких преступлений.
Вообще из описанной Вами ситуации возможностей выйти на подписку о невыезде практически нет. ранее Ваш молодой человек уже был судим, после совершения преступления скрылся из города. Это очень серьёзные основания для принятия в отношении него меры пресечения в виде заключения под стражу.
Не могу гарантировать, что возмещение ущерба поможет избежать тюрьмы (слишком мало информации для того, чтобы строить прогнозы), но, во всяком случае, возмещение причинённого вреда будет являться смягчающим обстоятельством и может повлиять на размер назначаемого судом наказания.