На рынке без чека купила куртку со скрытым дефектом, можно ли ее вернуть в течение месяца?

Здравствуйте. надо обратиться к продавцу. Я полагаю у него все равно имеется какой-то ОГРНИП и он не просто так продаёт. Ст. 18 ФЗ «О защите прав потребителей»:

1. Потребитель в случае обнаружения в товаре недостатков, если они не были оговорены продавцом, по своему выбору вправе:
потребовать замены на товар этой же марки (этих же модели и (или) артикула);
потребовать замены на такой же товар другой марки (модели, артикула) с соответствующим перерасчетом покупной цены;
потребовать соразмерного уменьшения покупной цены;
потребовать незамедлительного безвозмездного устранения недостатков товара или возмещения расходов на их исправление потребителем или третьим лицом;
отказаться от исполнения договора купли-продажи и потребовать возврата уплаченной за товар суммы. По требованию продавца и за его счет потребитель должен возвратить товар с недостатками.

Если так и не узнайте ИП, кому платили, то писать стоит разве что лицу, которому перечисляли денежные средства. Возможно продавце и есть лицо, которое сам торгует (просто стоит за прилавком). но, как Вы верно сказали сами, стоит начать с претензии.