Здравствуйте, Павел!
Полагаю, что, увы, но отец может Вас в судебном порядке выписать и выселить из квартиры, поскольку является единственным её собственником.
Как указано в ст. 292 Гражданского кодекса РФ:
1. Члены семьи собственника, проживающие в принадлежащем ему жилом помещении, имеют право пользования этим помещением на условиях, предусмотренных жилищным законодательством.
Дееспособные и ограниченные судом в дееспособности члены семьи собственника, проживающие в принадлежащем ему жилом помещении, несут солидарную с собственником ответственность по обязательствам, вытекающим из пользования жилым помещением.
2. Переход права собственности на жилой дом или квартиру к другому лицу является основанием для прекращения права пользования жилым помещением членами семьи прежнего собственника, если иное не установлено законом.
3. Члены семьи собственника жилого помещения могут требовать устранения нарушений их прав на жилое помещение от любых лиц, включая собственника помещения.
А согласно ст. 31 Жилищного кодекса РФ:
4. В случае прекращения семейных отношений с собственником жилого помещения право пользования данным жилым помещением за бывшим членом семьи собственника этого жилого помещения не сохраняется, если иное не установлено соглашением между собственником и бывшим членом его семьи. Если у бывшего члена семьи собственника жилого помещения отсутствуют основания приобретения или осуществления права пользования иным жилым помещением, а также если имущественное положение бывшего члена семьи собственника жилого помещения и другие заслуживающие внимания обстоятельства не позволяют ему обеспечить себя иным жилым помещением, право пользования жилым помещением, принадлежащим указанному собственнику, может быть сохранено за бывшим членом его семьи на определенный срок на основании решения суда. При этом суд вправе обязать собственника жилого помещения обеспечить иным жилым помещением бывшего супруга и других членов его семьи, в пользу которых собственник исполняет алиментные обязательства, по их требованию.
То есть отцу достаточно будет в судебном заседании указать на то, что Вы перестали быть членом его семьи, с ним не проживаете, общего совместного хозяйства с ним не ведёте. А отсутствие семейных отношений является основанием для признания бывшего члена семьи собственника утратившим право пользования жилым помещением.
По поводу сроков. Судебное разбирательство по иску Вашего отца о признании Вас утратившим право пользования квартирой может длиться достаточно долго. От 3 месяцев и больше. В практике есть случаи, что с момента подачи иска и до вступления решения суда в законную силу проходило до года и больше.
А затраты на суд могут быть связаны с привлечением юриста. Тут сложно сказать, в каком размере будут такие затраты. В среднем от 30 тыс. руб. и более.
К сожалению, в решении, ссылку на которое привел коллега, несколько иная ситуация.
Там квартира приобреталась с использованием мат.капитала, имелось соглашение о сохранении права пользования квартирой бывшим супругов (бывшим членом семьи). Поэтому бывшего супруга и вселили.
В нашей ситуации дело другое. Если бы между автором вопроса (Сергеем) и его отцом было бы какое-либо письменное соглашение о том, что несмотря на то, что он не является собственником данной квартиры, но сохраняет право проживания в ней, то это, безусловно, было бы основанием для подачи встречного иска.
Однако при отсутствии подобного соглашения шансов практически нет.