Как зарегистрироваться в своей квартире с ребенком, если отец ребенка проживает в другом городе?

Если при разводе решался вопрос о том, с кем будет проживать ребенок, то Вы можете предоставить это решение в МФЦ или паспортный стол для регистрации.

ст.65 СК

3. Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей.
При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. При этом суд учитывает привязанность ребенка к каждому из родителей, братьям и сестрам, возраст ребенка, нравственные и иные личные качества родителей, отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком, возможность создания ребенку условий для воспитания и развития (род деятельности, режим работы родителей, материальное и семейное положение родителей и другое).

Немного не понятно, но собственно сформулирую ответ: если вы не хотите потерять регистрацию в Башкирии, оформите временную регистрацию в Подмосковье.   В соответствии с п. 9 ПРАВИЛ РЕГИСТРАЦИИ И СНЯТИЯ ГРАЖДАН РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ С РЕГИСТРАЦИОННОГО УЧЕТА ПО МЕСТУ ПРЕБЫВАНИЯ И ПО МЕСТУ ЖИТЕЛЬСТВА В ПРЕДЕЛАХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ………Граждане, прибывшие для временного проживания в жилых помещениях, не являющихся их местом жительства, на срок более чем 90 дней, обязаны до истечения указанного срока обратиться к лицам, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, и представить:
документ, удостоверяющий личность;
заявление установленной формы о регистрации по месту пребывания;
документ, являющийся основанием для временного проживания гражданина в указанном жилом помещении (договоры найма (поднайма), социального найма жилого помещения, свидетельство о государственной регистрации права на жилое помещение или заявление лица, предоставляющего гражданину жилое помещение).
Органы регистрационного учета обязаны зарегистрировать гражданина не позднее 8 рабочих дней со дня подачи гражданином заявления
15. Регистрация граждан по месту пребывания осуществляется без их снятия с регистрационного учета по месту жительства.