Ляйсан, здравствуйте По формальным основаниям директор прав.
Независимо от подписания трудового договора, Вы считаетесь принятой на работу.
Статья 67. Форма трудового договора
Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.
Поэтому считается, что вы заключили трудовой договор.
Пишите заявление на увольнение по собственному желанию, вручайте его под подпись директора или работника кадровой службы.
Можете оформить больничный и на работу не ходить, через 2 недели Вас уволить обязаны, при этом еще и больничный оплатят, а может до директора дойдет, что если человек работать не собирается, то и смысла его держать нет.