Законно ли требование об увольнении из-за жалобы?

Вы оказали услуги в нерабочее время, трудовых обязанностей в это время не исполняли. Как понимаю, платила женщина лично Вам, а не клинике. Т.е. по сути это гражданский договор между ней и Вами, который к работе по трудовому договору не относится. Поэтому не усматривается оснований для Вашего увольнения. 

Просто требовать писать заявление руководитель также не может, т.к. по ст. 192-194 тк рф есть порядок привлечения к дисциплинарной ответственности — отобрать объяснения, издать приказ, ознакомить с ним и т.д. Для увольнения нужно основание из перечня ст. 81 тк рф. Поэтому стоит дать письменные объяснения работодателю, что услуги оказывали  в частном порядке (т.е. в рамках гражданского договора — хотя письменная форма и не соблюдена ст. 162 гк рф), трудовые обязанности в это время не исполняли, значит не могли их  ненадлежаще исполнить. А женщина вправе предъявить претензии лично к Вам. Предложите руководителю переадресовать ее требования Вам, дать ответ, что услуги оказывали Вы лично, не как работник ветклиники.